西安电子科技大学计算方法期末2

一 选  择（每题3分，合计42分）
1. x* ＝ 1.732050808，取x＝1.7320，则x具有    位有效数字。
A、3    B、4    C、5    D、6
2. 取（三位有效数字），则       。
A、    B、    C、   D、0.5
3.  下面_  _不是数值计算应注意的问题。
A、注意简化计算步骤，减少运算次数    B、要避免相近两数相减
C、要防止大数吃掉小数       D、要尽量消灭误差
4.  对任意初始向量及常向量，迭代过程收敛的充分必要条件是_  _。
A、      B、       C、    D、
5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k步，选列主元，使得＝    。
A、   B、     C、   D、
6. 设ƒ(x)= 5x³－3x²＋x＋6，取x₁=0，x₂=0.3，x₃=0.6，x₄=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为，则ƒ(0.9)-=__________。
A、0    B、0.001    C、0.002    D、0.003
7. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0转化为x=j(x),则f(x)=0的根是：    。
A、y=x与y=j(x)的交点            B、 y=x与y=j(x)交点的横坐标
   C、y=x与x轴的交点的横坐标      D、 y=j(x)与x轴交点的横坐标
8. 已知x₀＝2，f(x₀)=46，x₁＝4，f(x₁)=88，则一阶差商f [x₀, x₁]为   。
A、7    B、20    C、21    D、42
9. 已知等距节点的插值型求积公式，那么_____。
A、0    B、2    C、3    D、9
10. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求____。
A、 B、 C、  D、
11. 如果对不超过m次的多项式，求积公式精确成立，则该求积公式具有    次代数精度。
A、至少m   B、 m   C、不足m   D、多于m
12. 计算积分，用梯形公式计算求得的值为     。
A、0.75    B、1    C、1.5    D、2.5
13. 割线法是通过曲线上的点的直线与    交点的横坐标作为方程的近似根。
A、y轴  B、x轴  C、  D、
14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是____。
A、 2次   B、3次    C、4次    D、5次
 
一、 计 算（共58分）
1. 将方程写成以下两种不同的等价形式：
①；②
试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（8分）
 
2. 设方程f(x)=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（8分）
 
3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分的近似值，要求总共选取9个节点。（10分）
 
4. 用列主元高斯消去法解下列方程组：
                            （8分）

5. 给定线性方程组
 
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。（8分）
 
6. 已知函数y=f(x)的观察数据为

xk	－2	0	4	5
yk	5	1	－3	1

试构造三次拉格朗日插值多项式P_n (x)（8分）

7. 
在区间[0, 0.8]上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。（8分）
 
答  案
一、 选 择
1. x* ＝ 1.732050808，取x＝1.7320，则x具有 B 位有效数字。
A、3    B、4    C、5    D、6
2. 取（三位有效数字），则    B   。
A、    B、    C、   D、0.5
3.  下面_ D _不是数值计算应注意的问题。
A、注意简化计算步骤，减少运算次数    B、要避免相近两数相减
C、要防止大数吃掉小数       D、要尽量消灭误差
4.  对任意初始向量及常向量，迭代过程收敛的充分必要条件是_C_。
A、      B、       C、    D、
5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k步，选列主元，使得＝  B  。
A、   B、     C、   D、
6. 设ƒ(x)= 5x³－3x²＋x＋6，取x₁=0，x₂=0.3，x₃=0.6，x₄=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为，则ƒ(0.9)-=_____A_____。
A、0    B、0.001    C、0.002    D、0.003
7. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0转化为x=j(x),则f(x)=0的根是：  B  。
A、y=x与y=j(x)的交点            B、 y=x与y=j(x)交点的横坐标
   C、y=x与x轴的交点的横坐标      D、 y=j(x)与x轴交点的横坐标
8. 已知x₀＝2，f(x₀)=46，x₁＝4，f(x₁)=88，则一阶差商f [x₀, x₁]为 C  。
A、7    B、20    C、21    D、42
9. 已知等距节点的插值型求积公式，那么__C___。
A、0    B、2    C、3    D、9
10. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求__C__。
A、 B、 C、  D、
11. 如果对不超过m次的多项式，求积公式精确成立，则该求积公式具有  A  次代数精度。
A、至少m   B、 m   C、不足m   D、多于m
12. 计算积分，用梯形公式计算求得的值为   A  。
A、0.75    B、1    C、1.5    D、2.5
13. 割线法是通过曲线上的点的直线与  B  交点的横坐标作为方程的近似根。
A、y轴  B、x轴  C、  D、
14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B___。
A、 2次   B、3次    C、4次    D、5次
 
二、 计 算
1. 将方程写成以下两种不同的等价形式：
①；②
试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（8分）
解： ①令，则，；
又，故由定理2.1知，对任意，迭代格式收敛；
②令，则，，故由定理2.2知，对任意，且，迭代格式发散。
 
2. 设方程f(x)=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（8分）
解：设方程的精确解为x^*，任取近似根x(有根区间)Ì[0,1]，   
则        
        
所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001．
 
3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分的近似值，要求总共选取9个节点。（10分）
 
解：要选取9个节点应用复化梯形公式，则需将积分区间[0, 1]作8等分，即
, ，（）
设，则积分的复化梯形公式为：

若选取9个节点应用复化辛卜生公式，则
，，（）
积分的复化辛卜生公式为：

将所用到的与相应的，以及的梯形加权系数、的辛卜生加权系数全部列于下表，得：
 
 

xi	f(xi)	Ti	Si
0	4	1	1
0.125	3.938462	2	4
0.250	3.764706	2	2
0.375	3.506849	2	4
0.500	3.2	2	2
0.625	2.876404	2	4
0.750	2.56	2	2
0.875	2.265487	2	4
1	2	1	1

那么由复化梯形公式求得

由复化辛卜生公式求得

 
4. 用列主元高斯消去法解下列方程组：
                            （8分）
解：    
      再用“回代过程”可计算解：      
         
 
5. 给定线性方程组
 
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。（8分）
解：写出用雅可比迭代法解该方程组的迭代公式为
 
用高斯-赛德尔迭代法解该方程组的迭代公式。
    
6. 已知函数y=f(x)的观察数据为

xk	－2	0	4	5
yk	5	1	－3	1

试构造三次拉格朗日插值多项式P_n (x)（8分）
解：先构造基函数


    

所求三次多项式为 P₃(x)= 
＝＋－＋
7. 
在区间[0, 0.8]上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。（8分）
解：用改进欧拉法计算公式如下：


计算结果如下表：
 
 

xn	改进欧拉法yn
0	1
0.1	1.095909
0.2	1.184097
0.3	1.266201
0.4	1.343360
0.5	1.416402
0.6	1.485956
0.7	1.552514
0.8	1.616475