西安电子科技大学线性代数期末题库

1. 简算题。利用对角线法则计算下列三阶行列式: 





 2.简算题。按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: 

(1)1 2 3 4;  
   

    (2)4 1 3 2; 
  
    (3)3 4 2 1;              


    (4)2 4 1 3; 
 

    (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 

   (6)1 3  × × ×  (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 


3. 写出四阶行列式中含有因子a₁₁a₂₃的项. 


 4.简算题。计算下列各行列式: 











6. 设n阶行列式D=det(a_ij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得


7. 计算下列各行列式(D_k为k阶行列式): 
 (1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 











    8. 用克莱姆法则解下列方程组: 



9.问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？
 已知线性变换:  

求从变量x₁, x₂, x₃到变量y₁, y₂, y₃的线性变换. 

  2. 已知两个线性变换

求从z₁, z₂, z₃到x₁, x₂, x₃的线性变换. 



简算题。计算下列乘积: 








6. 举反列说明下列命题是错误的: 

(1)若A²=0, 则A=0; 
    (2)若A²=A, 则A=0或A=E;
   (3)若AX=AY, 且A¹0, 则X=Y . 





9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B^TAB也是对称矩阵. 

10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 

11. 求下列矩阵的逆矩阵: 







12. 解下列矩阵方程: 





13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: 





 14. 设A^k=O (k为正整数), 证明(E-A)^-1=E+A+A²+× × ×+A^k-1. 
 15. 设方阵A满足A²-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A^-1及(A+2E)^-1. 

16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)^-1-5A*|. 



    17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)^-1=(A^-1)*. 


18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: 
    (1)若|A|=0, 则|A*|=0; 
    (2)|A*|=|A|^n-1. 

19 设, AB=A+2B, 求B. 

20. 设, 且AB+E=A²+B, 求B. 


    21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B. 

 22. 已知矩阵A的伴随阵


 23. 设P^-1AP=L, 其中

 24. 设AP=PL, 其中

25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A^-1+B^-1也可逆, 并求其逆阵. 


 26. 计算
27.

28

 29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求



30. 求下列矩阵的逆阵: 





 18. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量b^T, 使A=ab^T.  

19. 设A为m´n矩阵, 证明
    (1)方程AX=E_m有解的充分必要条件是R(A)=m; 

20. 设A为m´n矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y.
    (1) a₁能由a₂, a₃线性表示; 
    (2) a₄不能由a₁, a₂, a₃线性表示. 

6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: 
    (1) (-1, 3, 1)^T, (2, 1, 0)^T, (1, 4, 1)^T; 
    (2) (2, 3, 0)^T, (-1, 4, 0)^T, (0, 0, 2)^T. 

7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？
         a₁=(a, 1, 1)^T, a₂=(1, a, -1)^T, a₃=(1, -1, a)^T. 

8. 设a₁, a₂线性无关, a₁+b, a₂+b线性相关, 求向量b用a₁, a₂线性表示的表示式. 

9. 设a₁, a₂线性相关, b₁, b₂也线性相关, 问a₁+b₁, a₂+b₂是否一定线性相关？试举例说明之. 

10. 举例说明下列各命题是错误的: 
    (1)若向量组a₁, a₂, × × ×, a_m是线性相关的, 则a₁可由a₂, × × ×, a_m线性表示. 
 (2)若有不全为0的数l₁, l₂, × × ×, l_m使
l₁a₁+ × × × +l_ma_m+l₁b₁+ × × × +l_mb_m=0
成立, 则a₁, a₂, × × ×, a_m线性相关, b₁, b₂, × × ×, b_m亦线性相关. 

  (3)若只有当l₁, l₂, × × ×, l_m全为0时, 等式
l₁a₁+ × × × +l_ma_m+l₁b₁+ × × × +l_mb_m=0
才能成立, 则a₁, a₂, × × ×, a_m线性无关, b₁, b₂, × × ×, b_m亦线性无关. 
 (4)若a₁, a₂, × × ×, a_m线性相关, b₁, b₂, × × ×, b_m亦线性相关, 则有不全为0的数, l₁, l₂, × × ×, l_m使
l₁a₁+ × × × +l_ma_m=0, l₁b₁+ × × × +l_mb_m=0
同时成立.   

11. 设b₁=a₁+a₂, b₂=a₂+a₃, b₃=a₃+a₄, b₄=a₄+a₁, 证明向量组b₁, b₂, b₃, b₄线性相关. 

 12. 设b₁=a₁, b₂=a₁+a₂, × × ×, b_r =a₁+a₂+ × × × +a_r, 且向量组a₁, a₂, × × × , a_r线性无关, 证明向量组b₁, b₂, × × × , b_r线性无关. 

 13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: 
    (1)a₁=(1, 2, -1, 4)^T, a₂=(9, 100, 10, 4)^T, a₃=(-2, -4, 2, -8)^T; 


    14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: 



 15. 设向量组
(a, 3, 1)^T, (2, b, 3)^T, (1, 2, 1)^T, (2, 3, 1)^T
的秩为2, 求a, b. 

16. 设a₁, a₂, × × ×, a_n是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e₁, e₂,× × ×, e_n能由它们线性表示, 证明a₁, a₂, × × ×, a_n线性无关. 

17. 设a₁, a₂, × × ×, a_n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示. 

18. 设向量组a₁, a₂, × × ×, a_m线性相关, 且a₁¹0, 证明存在某个向量a_k (2£k£m), 使a_k能由a₁, a₂, × × ×, a_k-1线性表示. 

 19. 设向量组B: b₁, × × ×, b_r能由向量组A: a₁, × × ×, a_s线性表示为
(b₁, × × ×, b_r)=(a₁, × × ×, a_s)K, 其中K为s´r矩阵, 且A组线性无关. 

20.
证明向量组a₁, a₂, × × ×, a_n与向量组b₁, b₂, × × ×, b_n等价. 
    证明  将已知关系写成

 21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A³x=3Ax-A²x, 且向量组x, Ax, A²x线性无关. 

 (1)记P=(x, Ax, A²x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; 

(2)求|A|. 

 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系: 





(3)nx₁ +(n-1)x₂+ × × × +2x_n-1+x_n=0.


 23. 设, 求一个4´2矩阵B, 使AB=0, 且R(B)=2.


 24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
x₁=(0, 1, 2, 3)^T , x₂=(3, 2, 1, 0)^T .

25. 设四元齐次线性方程组


(1)方程I与II的基础解系; (2) I与II的公共解. 

(2) I与II的公共解就是方程

26. 设n阶矩阵A满足A²=A, E为n阶单位矩阵, 证明
R(A)+R(A-E)=n.

27. 设A为n阶矩阵(n³2), A*为A的伴随阵, 证明


28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: 






    29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h₁, h₂, h₃是它的三个解向量. 且
h₁=(2, 3, 4, 5)^T, h₂+h₃=(1, 2, 3, 4)^T,
求该方程组的通解. 

 30. 设有向量组A: a₁=(a, 2, 10)^T, a₂=(-2, 1, 5)^T, a₃=(-1, 1, 4)^T, 及b=(1, b, -1)^T, 问a, b为何值时
    (1)向量b不能由向量组A线性表示; 
    (2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一; 
    (3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 


31.设a=(a₁, a₂, a₃)^T, b=(b₁, b₂, b₃)^T, c=(c₁, c₂, c₃)^T, 证明三直线
                l₁: a₁x+b₁y+c₁=0, 
                l₂: a₂x+b₂y+c₂=0, (a_i²+b_i²¹0, i=1, 2, 3)
                l₃: a₃x+b₃y+c₃=0,
相交于一点的充分必要条件为: 向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关. 


32. 设矩阵A=(a₁, a₂, a₃, a₄), 其中a₂, a₃, a₄线性无关, a₁=2a₂- a₃. 向量b=a₁+a₂+a₃+a₄, 求方程Ax=b的通解.  


33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, x₁, x₂, × × ×, x_n-r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明: 
    (1)h*, x₁, x₂, × × ×, x_n-r线性无关;   
    (2)h*, h*+x₁, h*+x₂, × × ×, h*+x_n-r线性无关. 

 34. 设h₁, h₂, × × ×, h_s是非齐次线性方程组Ax=b的s个解, k₁, k₂, × × ×, k_s为实数, 满足k₁+k₂+ × × × +k_s=1. 证明
x=k₁h₁+k₂h₂+ × × × +k_sh_s
也是它的解.

  35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r, h₁, h₂, × × ×, h_n-r+1是它的n-r+1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为
x=k₁h₁+k₂h₂+ × × × +k_n-r+1h_n-r+1, (其中k₁+k₂+ × × × +k_n-r+1=1).

36 设
V₁={x=(x₁, x₂, × × ×, x_n)^T | x₁, × × ×, x_nÎR满足x₁+x₂+ × × × +x_n=0},
V₂={x=(x₁, x₂, × × ×, x_n)^T | x₁, × × ×, x_nÎR满足x₁+x₂+ × × × +x_n=1},
问V₁, V₂是不是向量空间？为什么？
 37. 试证: 由a₁=(0, 1, 1)^T, a₂=(1, 0, 1)^T, a₃=(1, 1, 0)^T所生成的向量空间就是R³

38. 由a₁=(1, 1, 0, 0)^T, a₂=(1, 0, 1, 1)^T所生成的向量空间记作V₁,由b₁=(2, -1, 3, 3)^T, b₂=(0, 1, -1, -1)^T所生成的向量空间记作V₂, 试证V₁=V₂.

39. 验证a₁=(1, -1, 0)^T, a₂=(2, 1, 3)^T, a₃=(3, 1, 2)^T为R³的一个基, 并把v₁=(5, 0, 7)^T, v₂=(-9, -8, -13)^T用这个基线性表示.

40. 已知R³的两个基为
        a₁=(1, 1, 1)^T, a₂=(1, 0, -1)^T, a₃=(1, 0, 1)^T,
        b₁=(1, 2, 1)^T, b₂=(2, 3, 4)^T, b₃=(3, 4, 3)^T.

求由基a₁, a₂, a₃到基b₁, b₂, b₃的过渡矩阵P. 

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